Que ce soit un form web qui existe ou pas, on s'en fiche. LA grosse difference syntaxique entre un POST et un GET, c'est que dans le POST, les infos transitent dans le body de la requete et non de l'URL. Dans le cas d'un form web, c'est ton browser qui s'en charge, mais le mechanisme est identique.

Pour ton cas, vu que le PHP ne devrait que traiter la requete et non l'emettre, c'est encore plus simple. La variable $_POST te permet de recuprerer le contenu d'un parametre nome passe dans le body de la requete (ex: $mon_contenu = $_POST['nom_de_mon_param'])
Apres, tu peux faire ce que tu veux avec. Si tu sais que le contenu est du JSON, tu appelle to json_decode sur $mon_contenu, et bim, tu as une jolie structure de creer, prete a l'emploi.
Enfin, si tu dois fournir un retour a l'appelant autre qu'un HTTP 204 (qui veut dire, c'est bon, circulez, y a rien a voir), tu peux jouer avec des headers pour definir le type de retour (text, json, xml, whathever...) et ensuite renvoyer la structure qui te plait.